Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對a分，a=0，a＞0，a＜0進(jìn)行討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，即（1，+∞）是f（x）單調(diào)遞減區(qū)間的子集．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

+a-2a2x=-

2a2x2-ax-1

x

=-

(2ax+1)(ax-1)

x

①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；
②當(dāng)a＞0，令f′（x）=0，得x1=-

1

2a

，x2=

1

a

，且x₁＜0＜x₂，當(dāng)x∈（0，

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(

1

a

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x=

1

a

時(shí)f（x）有極小值為f(

1

a

)=ln

1

a

；
③當(dāng)a＜0，令f′（x）=0，得x1=-

1

2a

，x2=

1

a

，且x₂＜0＜x₁，當(dāng)x∈（0，-

1

2a

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(-

1

2a

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x=-

1

2a

時(shí)，f（x）有極小值f(-

1

2a

)=ln(-

1

2a

)-

3

4

．
（2）由（1）知當(dāng)a＞0，時(shí)f（x）在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，∴

1

a

≤1，得a≥1，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-

1

2a

，+∞）上單調(diào)遞減，∴-

1

2a

≤1，得a≤-

1

2

，
綜上得：a的取值范圍為（-∞，-

1

2

]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)區(qū)間，求極值，分類討論思想，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，屬于中檔題目．