Question

（本小題滿分14分） 

設（且），g(x)是f(x)的反函數.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）當時，恒有成立，求t的取值范圍；

（Ⅲ）當0＜a≤時，試比較f(1)+f(2)+…+f(n)與的大小，并說明理由.

Answer 1

解：(1)由題意得：ax＝＞0

故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)……………………3分

(2) 由得 

①當a＞1時，＞0

又因為x∈[2,6],所以0＜t＜(x－1)2(7－x)

令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7, x∈[2,6]

則h'(x)＝－3x2＋18x－15＝－3(x－1)(x－5)

列表如下：

x	2	(2,5)	5	(5,6)	6
h'(x)		＋	0	－
h(x)	5	↗	極大值32	↘	25

所以h(x)最小值＝5，

所以0＜t＜5

②當0＜a＜1時，0＜

又因為x∈[2,6],所以t＞(x－1)2(7－x)＞0

令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7, x∈[2,6]

由①知h(x)最大值＝32, x∈[2,6]

所以t＞32

綜上，當a＞1時，0＜t＜5；當0＜a＜1時，t＞32.……………………9分

(3)設a＝，則p≥1

當n＝1時,f(1)＝1＋≤3＜5 

當n≥2時

設k≥2，k∈N *時

則f(k)＝

所以f(k)≤1＋＝1＋＝1＋

從而f(2)＋f(3)＋……＋f(n)≤n－1＋＜n＋1

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(n)＜f(1)＋n＋1≤n＋4

綜上，總有f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(n)＜n＋4……………………14分