Question

已知f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應系數(shù)相等解得待定系數(shù)，即可求得函數(shù)的解析式．
（2）由題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得有

2a＜a+1 2a≥1

，或

2a＜a+1 a+1≤1

，由此解得a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=）=ax²+bx+c，∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
∴c=1，且a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x．
∴2a=2，a+b=0，解得a=1，b=-1，
故函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=x²-x+1．
（2）由于f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上單調(diào)，且二次函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸為 x=1，
故有

2a＜a+1 2a≥1

，或

2a＜a+1 a+1≤1

． 解得

1

2

≤a＜1，或a≤0．
故a的取值范圍為[

1

2

，1）∪（-∞，0]．

點評：本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)模型已知的函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題．