(本小題滿分14分)
如圖,在棱長(zhǎng)為
a的正方體ABCD—A
1B
1C
1D
1中,E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn),EF交BD于H。
(1)求二面角B
1—EF—B的正切值;
(2)試在棱B
1B上找一點(diǎn)M,使D
1M⊥平面EFB
1,并證明你的結(jié)論;
(3)求點(diǎn)D
1到平面EFB
1的距離。
,取B
1B的中點(diǎn)M,
(1)連AC、B
1H,則EF//AC,
∵AC⊥BD,所以BD⊥EF。
∵B
1B⊥平面ABCD,所以B
1H⊥EF,
∴∠B
1HB為二面角B
1—EF—B的平面角。 ………………2分
在
故二面角B
1—EF—B的正切值為
…………4分
(2)在棱B
1B上取中點(diǎn)M,連D
1M、C
1M。∵EF⊥平面B
1BDD
1,
所以EF⊥D
1M。 …………6分
在正方形BB
1C
1C中,因?yàn)镸、F分別為BB
1、BC的中點(diǎn),
∴B
1F⊥C
1M …………8分
又因?yàn)镈
1C
1⊥平面BCC
1B
1,所以B
1F⊥D
1C
1,
所以B
1F⊥D
1M,
∴D
1M⊥平面EFB
1 ………………10分
(3)設(shè)D
1M與平面EFB
1交于點(diǎn)N,則D
1N為點(diǎn)D
1到平面EFB
1的距離。……11分
在Rt△MB
1D
1中,
…………12分
故點(diǎn)D
1到平面EFB
1的距離為
………………14分
解二:(1)在正方體中,以DA、DC、DD
1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則
………………2分設(shè)平面EFB
1的一個(gè)法向量為
故二面角B
1—EF—B的正切值為
…………4分
(2)設(shè)
………………10分
(3)
∴點(diǎn)D
1到平面EFB
1的距離
…………14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)
如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,∠BCF=
,AD=
,EF=2.
(Ⅰ)求證: AE∥平面DCF;
(Ⅱ)若
,且二面角A—EF—C的大小為
,求
的長(zhǎng)。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,四邊形ABCD是正方形,
平面ABCD,MA//PB,PB=AB=2MA=2。
(1)P、C、D、M四點(diǎn)是否在同一平面內(nèi),為什么?
(2)求證:面PBD
面PAC;
(3)求直線BD和平面PMD所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分8分)
如圖,正方體
的棱長(zhǎng)是2,
(1)求正方體
的外接球的表面積;
(2)求
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且側(cè)面PAD與底面ABCD垂直,E為PD的中點(diǎn)。
(1) 求證:PB//面ACE;
(2) 求二面角E—AC—D的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在六面體ABC-DEFG中,平面
∥平面
,
⊥平面
,
,
,
∥
.且
,
.
(1)求證:
∥平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
((8分)在正四面體
P—ABC中,
D,
E,
F分別是
AB、BC、 CA的中點(diǎn),求證:
(1)
BC∥平面
PDF; (2)
BC⊥平面
PAE
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
已知
、
、
是直線,
是平面,給出下列命題:①若
,
,則
;
②若
,
,則
;③若
,
,則
;④若
,
,則
;⑤若
與
異面,則至多有一條直線與
、
都垂直.其中真命題是
.(把符合條件的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知
是三個(gè)不同的平面,命題“
且
”是真命題.若把
中的任意兩個(gè)換成直線,則在所得到的命題中,真命題有
A.3個(gè) | B.2個(gè) | C.1個(gè) | D.0個(gè) |
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