Question

15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC所在平面內(nèi)$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+λ\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{|PC{|}^{2}}$=5；
（2）$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{|PC{|}^{2}}$的最小值為1．

Answer 1

分析 （1）可分別以直線CA，CB為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)A（a，0），B（0，b），P（x，y），從而可以求出$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$的坐標(biāo)，而根據(jù)$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+λ\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$便可解出x，y為：$x=\frac{a}{λ+2}，y=\frac{λ+2}$，這樣便得出$\overrightarrow{PA}=（a-\frac{a}{λ+2}，-\frac{λ+2}）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{a}{λ+2}，b-\frac{λ+2}）$，$\overrightarrow{PC}=（-\frac{a}{λ+2}，-\frac{λ+2}）$，從而可以求出$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}=（λ+1）^{2}+1$，從而λ=1
時(shí)，便可得出$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$的值；
（2）由上面$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}=（λ+1）^{2}+1$，便可得到，當(dāng)λ=-1時(shí)，$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$取最小值．

解答 解：分別以邊CA，CB為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（a，0），B（0，b），P（x，y），則：
$\overrightarrow{PA}=（a-x，-y），\overrightarrow{PB}=（-x，b-y）$，$\overrightarrow{PC}=（-x，-y）$；
∵$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+λ\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-x-x-λx=0}\\{-y+b-y-λy=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{λ+2}}\\{y=\frac{λ+2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{PA}=（a-\frac{a}{λ+2}，-\frac{λ+2}）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{a}{λ+2}，b-\frac{λ+2}）$，$\overrightarrow{PC}=（-\frac{a}{λ+2}，-\frac{λ+2}）$；
∴$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$=$\frac{（a-\frac{a}{λ+2}）^{2}+（-\frac{λ+2}）^{2}+（-\frac{a}{λ+2}）^{2}+（b-\frac{λ+2}）^{2}}{（-\frac{a}{λ+2}）^{2}+（-\frac{λ+2}）^{2}}$=（λ+1）²+1；
∴（1）當(dāng)λ=1時(shí)，$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}=5$；
（2）顯然看出，λ=-1時(shí)，$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$取最小值，最小值為1．
故答案為：5，1．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，由點(diǎn)的坐標(biāo)能求向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)能求向量長(zhǎng)度，二次函數(shù)的最值問(wèn)題．