如圖,在幾何體中,平面,,是等腰直角三角形,,且,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
解析試題分析:(Ⅰ)證法一是取的中點(diǎn),構(gòu)造四邊形,并證明四邊形為平行四邊形,得到,從而證明平面;證法二是取的中點(diǎn),構(gòu)造平面,通過(guò)證明平面平面,并利用平面與平面平行的性質(zhì)來(lái)證明平面;(Ⅱ)直接利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值.
試題解析:解法一:(Ⅰ)取的中點(diǎn),連結(jié),
則,且, 2分
又,∴且,所以四邊形是平行四邊形,
則, 5分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/08/f/xic4h3.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以平面. 6分
(Ⅱ)依題得,以點(diǎn)為原點(diǎn),所在的直線分別為軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,
所以,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,
取,得,. 10分
又設(shè)與平面所成的角為,,
則,
故與平面所成角的正弦值為. 13分
解法二:(Ⅰ)取的中點(diǎn),連結(jié),
則,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/61/9/8qww11.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積;
(2)證明:;
(3)求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,已知為圓的直徑,點(diǎn)為線段上一點(diǎn),且,點(diǎn)為圓上一點(diǎn),且.點(diǎn)在圓所在平面上的正投影為點(diǎn),.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖已知:菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)點(diǎn)在直線上,且//平面,求平面與平面所成角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知直角梯形中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,.沿將折起,使至處,且;然后再將沿折起,使至處,且面面,和在面的同側(cè).
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,,,,設(shè)頂點(diǎn)A在底面上的射影為R.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在棱上,且,試求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,平面四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上,為球的直徑,為球面上一點(diǎn),且平面 ,,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1) 證明:平面平面;
(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起, 使得△ABD與△ABC成30o的二面角,如圖二,在二面角中.
(1) 求CD與面ABC所成的角正弦值的大小;
(2) 對(duì)于AD上任意點(diǎn)H,CH是否與面ABD垂直。
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