Question

18．已知k∈R，z是非零復數(shù)，滿足Rez+Imz=0，（1+$\overline{z}$）²-kz=1-（1+i）²
（1）求z的值；
（2）設m∈[log₂k，k]，求|k+m•z|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設z=a-ai（a∈R），代入（1+$\overline{z}$）²-kz=1-（1+i）² ，化簡整理后利用復數(shù)相等的條件求得k，a的值，則z的值可求；
（2）求出m的范圍，把k，m代入k+m•z，然后求其模，利用m的范圍結(jié)合二次函數(shù)值域的求法求得答案．

解答 解：（1）由題意設z=a-ai（a∈R），
代入（1+$\overline{z}$）²-kz=1-（1+i）² ，得（1+a+ai）²-ka+kai=1-2i，
即（1+a）²-a²-ka+2a（1+a）i+kai=1-2i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2a-ka=1}\\{2a+2{a}^{2}+ka=-2}\end{array}\right.$，解得a=-1，k=2．
∴z=-1+i；
（2）m∈[log₂k，k]=[1，2]，
則k+m•z=2-m+mi，
∴|k+m•z|=|2-m+mi|=$\sqrt{（2-m）^{2}+{m}^{2}}=\sqrt{2{m}^{2}-4m+4}$．
∵m∈[1，2]，∴2m²-4m+4∈[2，4]，
∴|k+m•z|的取值范圍是[$\sqrt{2}，2$]．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查復數(shù)相等的條件，訓練了復數(shù)模的求法，是中檔題．