Question

12．已知圓M的圓心為M（-1，2），直線y=x+4被圓M截得的弦長為$\sqrt{2}$，點P在直線l：y=x-1上．
（1）求圓M的標準方程；
（2）設(shè)點Q在圓M上，且滿足$\overrightarrow{MP}$=4$\overrightarrow{QM}$，求點P的坐標；
（3）設(shè)半徑為5的圓N與圓M相離，過點P分別作圓M與圓N的切線，切點分別為A，B，若對任意的點P，都有PA=PB成立，求圓心N的坐標．

Answer 1

分析 （1）求出M到直線y=x+4的距離，利用垂徑定理計算圓M的半徑，得出圓M的標準方程；
（2）由|MQ|=1可知|MP|=4，利用兩點間的距離公式列方程解出P點坐標；
（3）由切線的性質(zhì)可知PA²=PM²-1，PB²=PN²-5．設(shè)N（m，n），P（x，x-1），列出方程，令關(guān)于x的方程恒成立得出m，n．

解答 解：（1）點M到直線y=x+4的距離d=$\frac{|-1-2+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴圓M的半徑r=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1．
∴圓M的標準方程為：（x+1）²+（y-2）²=1．
（2）∵點Q在圓M上，∴|$\overrightarrow{QM}$|=1．
∴|$\overrightarrow{MP}$|=4|$\overrightarrow{QM}$|=4．
設(shè)P（a，b）則$\left\{\begin{array}{l}{b=a-1}\\{\sqrt{（a+1）^{2}+（b-2）^{2}}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴點P坐標為（-1．-2）或（3，2）．
（3）設(shè)N（m，n），P（x，x-1），
∵PA，PB分別與圓M，圓N相切，
∴PA²=PM²-1，PB²=PN²-25．
∵對任意點P，都有PA=PB，
∴（x+1）²+（x-3）²-1=（x-m）²+（x-1-n）²-25恒成立．
整理得：2（m+n-1）x+33-m²-n²-2n=0恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n-1=0}\\{33-{m}^{2}-{n}^{2}-2n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=4}\end{array}\right.$．
∴N（5，-4）或N（-3，4）．
當N坐標為（5，-4）時，|MN|=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$＞6，符合題意，
當N坐標為（-3，4）時，|MN|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$＜6，此時兩圓相交，不符合題意．
∴N（5，-4）．

點評 本題考查了圓的標準方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．