Question

（2011•天津模擬）不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

A．（-∞，-1]∪[4，+∞）

B．[-1，4]

C．[1，2]

D．（-∞，1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：令函數(shù)f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-

4

b

|，則由題意可得 f_min（x）≥a²-3a．而 f_min（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，故有4≥a²-3a，即（a-4）（a+1）≤0，由此求得
實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：令函數(shù)f（x）=|x+3|+|bx-4|=|x+3|+b|x-

4

b

|，則由不等式a²-3a≤|x+3|+|bx-4|（其中b∈[0，1]）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
可得 f_min（x）≥a²-3a．
結(jié)合函數(shù)f（x）=

-(1+b)x+1 ， x≤-3 (1-b)x+7 ， -3＜x≤ 4 b (1+b)x-1 ， x ≥ 4 b

的圖象，可得
 f_min（x）=f（-3）=|3b+4|≥4，∴4≥a²-3a，即（a-4）（a+1）≤0，解得-1≤a≤4，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值不等式的解法，求出函數(shù)f（x）的最小值，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，注意函數(shù)f（x）=a|x-m|+b|x-n|，
當(dāng)a＞b時(shí)，f（m）最小，當(dāng)a＜b時(shí)，f（n）最小，當(dāng)a=b時(shí)，f（m）=f（n）最�。� 屬于中檔題．