Question

（2012•鹽城一模）若關(guān)于x的方程kx+1=lnx有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

(-∞，

1

e2

]

．

Answer 1

分析：設(shè)f（x）=lnx-kx-1，將方程kx+1=lnx有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）有零點(diǎn)問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值，找到使函數(shù)有零點(diǎn)的k的范圍

解答：解：設(shè)f（x）=lnx-kx-1
則f′（x）=

1

x

-k=

1-kx

x

  （x＞0）
若k≤0，則f′（x）＞0，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，∵x→0時(shí)，f（x）→-∞，∴f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即此時(shí)方程kx+1=lnx有解
若k＞0，則f（x）在（0，

1

k

）上為增函數(shù)，在（

1

k

，+∞）上為減函數(shù)
要使函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，需f（

1

k

）≥0
即-lnk-2≥0
解得：k≤

1

e2

∴0＜k≤

1

e2

時(shí)，f（x）有零點(diǎn)，即此時(shí)方程kx+1=lnx有解
綜上所述：k≤

1

e2

故答案為 （-∞，

1

e2

]

點(diǎn)評：本題主要考查了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)解決零點(diǎn)存在性問題的方法，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法