Question

橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，上焦點（0，c）到直線的距離為，離心率也為，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B．
（ I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（ I）  因為點（0，c）到直線的距離為，所以可得，再根據(jù)離心率也為，可得，，兩式聯(lián)立，即可求出a，b，c，橢圓C的方程即可求出．
（Ⅱ）先設(shè)出直線l的方程，代入（ I）中所求出的橢圓方程中，消y，德關(guān)于x的一元二次方程，求兩根之和，兩根之積，再根據(jù)，就可把k²用含m的式子表示，再根據(jù)k²的范圍，求出m的范圍．
解答：解：（ I）設(shè)橢圓，設(shè)c²=a²-b²
由條件知
∴
故橢圓C的方程為：
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+m，聯(lián)立 ，
消去y 并化簡得：（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
因即-x₁=3x₂
消 x₂得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0∴
整理得 4k²m²+2m²-k²-2=0…（9分）
當(dāng)時，上式不成立；∴．此時
因∴k≠0∴∴，即或
∴所求m的取值范圍為
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，計算量較大，做題時一定要認(rèn)真．