Question

如圖，A，B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∠BOA=60°，質(zhì)點(diǎn)A以1弧度/秒的角速度按逆時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)；質(zhì)點(diǎn)B以1弧度/秒的角速度按順時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作AA₁⊥y軸于A₁，過點(diǎn)B作BB₁⊥y軸于B₁．
（1）求經(jīng)過1秒后，∠BOA的弧度數(shù)；
（2）求質(zhì)點(diǎn)A，B在單位圓上第一次相遇所用的時(shí)間；
（3）記A₁B₁的距離為y，請寫出y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）只要先求A，B運(yùn)動(dòng)所形成的角即可求解∠BOA
（2）根據(jù)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的角速度和第一次相遇時(shí)，兩者走過的弧長和恰好是圓周長求出第一次相遇的時(shí)間，再由角速度和時(shí)間求出其中一點(diǎn)到達(dá)的位置，再根據(jù)三角函數(shù)的定義此點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弧長公式可求
（3）由題意可得，y=|sin（t+

π

3

）-sin（-t）|=|

3

2

sint+

3

2

cost|，利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解（1）經(jīng)過1秒后A運(yùn)動(dòng)的角度為1，B運(yùn)動(dòng)的角度為-1
∴∠BOA=

π

3

+2（2分）
（2）設(shè)A、B第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是t，
則2t+

π

3

=2π．（4分）
∴t=

5π

6

（秒），即第一次相遇的時(shí)間為

5π

6

秒．（6分）
（3）由題意可得，y=|sin（t+

π

3

）-sin（-t）|=|

3

2

sint+

3

2

cost|（8分）
=

3

|sin(t+

π

6

)|（10分）
當(dāng)t+

π

6

=kπ+

π

2

即t=kπ+

π

3

，k∈Z時(shí)，（12分）
ymax=

3

（14分）

點(diǎn)評：本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)的問題，認(rèn)真分析題意列出方程，即第一次相遇時(shí)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)走過的弧長和是圓周，這是解題的關(guān)鍵，考查了分析和解決問題的能力．