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已知f（x）=
ax+b
x2+1
為定義在R上的奇函數，且f（1）=
1
2

（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并證明y=f（x）在（-1，0）上的單調性．
（1）因為f（x）=
ax+b
x2+1
為定義在R上的奇函數，且f（1）=
1
2
，
所以
f(0)=0
f(1)=
1
2
，即
b=0
a+b
2
=
1
2
，解得：
a=1
b=0
．
所以，f（x）=
x
x2+1
．
（2）f(x)=
x
x2+1
在（-1，0）上為單調增函數．
證明：任取x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2
則f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1

=
x1x22+x1-x2x12-x2
(x12+1)(x22+1)

=
(1-x1x2)(x1-x2)
(x12+1)(x22+1)
．
因為x1，x2∈（-1，0）且x1＜x2，
所以1-x1x2＞0，x1-x2＜0．
所以，f(x1)-f(x2)=
(1-x1x2)(x1-x2)
(x12+1)(x22+1)
＜0．
即f（x1）＜f（x2）．
所以，函數y=f（x）在（-1，0）上的單調遞增．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1），
（1）證明函數f （ x ）的圖象關于y軸對稱；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明；
（3）當x∈[1，2]時函數f （x ）的最大值為
103
，求此時a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=ax+b（a＞0且a≠1，b為常數）的圖象經過點（1，1）且0＜f（0）＜1，記m=
1
2
[f-1(x1)+f-1(x2)]，n=f-1(
x1+x2
2
)（x1、x2是兩個不相等的正實數），試比較m、n的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知f（x）=ax+a-x，若f（1）=3，，求f（2）的值．
（2）設函數f(x)=log3(ax-bx)，且f（1）=1，f（2）=log312．求a，b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=ax（a＞1），g（x）=bx（b＞1），當f（x1）=g（x2）=2時，有x1＞x2，則a，b的大小關系是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•新疆模擬）已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=
lnx
x
，其中e是自然對數的底，a∈R．
（Ⅰ）a=1時，求f（x）的單調區(qū)間、極值；
（Ⅱ）是否存在實數a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）在（1）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+
1
2
．

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