Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且a₁與a₄的一等比中項為4

2

，a₂與a₃的等差中項為6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，c_n=S_n+3+（-1）ⁿ⁺¹a_n²（n∈N^*），請比較c_n與c_n+1的大小，并加以說明．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a₂•a₃=a₁•a₄，根據(jù)已知條件列出關(guān)于a₂，a₃的方程解方程求出a₂，a₃，進一步求出公比，利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）求出數(shù)列{a_n•b_n}的通項，根據(jù)其特點是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積，利用錯位相減法求出其和．
（3）利用等比數(shù)列的前n項和公式求出S_n，將其帶代入c_n，表示出c_n+1，作差通過對差的變形，對n的討論得到差的符號，進一步比較出兩個數(shù)的大�。�

解答：解：（1）由題意得

a2a3=a1•a4=(4 2 )2=32 a2+a3=2×6=12

，
解得

a2=4 a3=8

或

a2=8 a3=4

由公比q＞1，可得a₂=4，a₃=8，q=

a3

a2

=2
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₂q^n-2=2ⁿ
（2）a_n•b_n=n•2ⁿ
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
2T_n=，1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
（3）a₁=2，Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2
c_n=S_n+3+（-1）ⁿa_n²=（2ⁿ⁺⁴-2）+（-1）ⁿ⁺¹2²ⁿ，
c_n+1=（2ⁿ⁺⁵-2）+（-1）ⁿ2^2（n+1），
c_n+1-c_n=2ⁿ[16+5（-1）ⁿ2ⁿ]．
當n=1或為正偶數(shù)時，c_n+1-c_n＞0，
c_n+1＞c_n；
當n正奇數(shù)且n≥3時，c_n+1-c_n=2ⁿ（16-5×2ⁿ）≤2ⁿ（16-5×2³）＜0，
c_n+1＜c_n..

點評：求數(shù)列的前n項和的問題，一般先求出通項，判斷出通項的特點，利用合適的求和方法求出前n項和，常用的求和方法有：公式法、到序相加法、錯位相減法、裂項求和法、分組法．