Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，點(diǎn)M，N分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）證明：A₁M⊥平面MAC；
（2）求三棱錐A-CMA₁的體積；
（3）證明：MN∥平面A₁ACC₁．

Answer 1

分析：（1）證法一：由題設(shè)知，AC⊥AA₁，由∠BAC=90°，知AC⊥ABAA₁，由AB?平面AA₁BB₁，知AC⊥平面AA₁BB₁，由此能夠證明A₁M⊥平面MAC．
證法二：先證明△A₁CB為等腰三角形，再由點(diǎn)M為A₁B的中點(diǎn)，知A₁M⊥MC，由此能夠證明A₁M⊥平面MAC．
（2）由三棱錐A-CMA₁的體積VA-CMA1=VC-AMA1=

1

3

×S△AMA1×CA，能夠求出結(jié)果．
（3）證法一：連接AB₁，AC₁，得MN∥AC₁，由此能夠證明MN∥平面A₁ACC₁．
證法二：取A₁B₁中點(diǎn)P，連MP，NP，得MP∥AA₁，由此能夠證明MN∥平面A₁ACC₁．

解答：解：（1）證法一：由題設(shè)知，AC⊥AA₁，
又∵∠BAC=90°∴AC⊥ABAA₁，AB?平面AA₁BB₁，AA₁∩AB=A，
∴AC⊥平面AA₁BB₁，…（1分）
A₁M?平面AA₁BB₁∴A₁M⊥AC．…（2分）
又∵四邊形AA₁BB₁為正方形，M為A₁B的中點(diǎn)，
∴A₁M⊥MA…（3分）
AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC…（4分）
∴A₁M⊥平面MAC…（5分）
證法二：在Rt△BAC中，BC=

AB2+AC2

=

22+22

=2

2

在Rt△A₁AC中，A1C=

A1A2+AC2

=

22+22

=2

2

．
∴BC=A₁C，
即△A₁CB為等腰三角形．…（1分）
又點(diǎn)M為A₁B的中點(diǎn)，∴A₁M⊥MC．…（2分）
又∵四邊形AA₁BB₁為正方形，M為A₁B的中點(diǎn)，
∴A₁M⊥MA…（3分）AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC…（4分）
∴A₁M⊥平面MAC…（5分）
（2）由（1）的證明可得：
三棱錐A-CMA₁的體積VA-CMA1=VC-AMA1=

1

3

×S△AMA1×CA…（7分）=

1

3

×

1

2

×2×1×2…（8分）
=

2

3

．…（9分）
（3）證法一：連接AB₁，AC₁，…（10分）
由題意知，點(diǎn)M，N分別為AB₁和B₁C₁的中點(diǎn)，∴MN∥AC₁．…（11分）
又MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，…（13分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（14分）
證法二：取A₁B₁中點(diǎn)P，連MP，NP，…（10分）
而M，P分別為AB₁與A₁B₁的中點(diǎn)，
∴MP∥AA₁，MP?平面A₁ACC₁，AA₁?平面A₁ACC₁，
∴MP∥平面A₁ACC₁，
同理可證NP∥平面A₁ACC₁…（11分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A₁ACC₁．…（12分）
∵M(jìn)N?平面MNP，…（13分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．