Question

【題目】如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD= ，AB=AC．

（1）證明：AD⊥CE；
（2）設CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC中點F，連接DF交CE于點O，

∵AB=AC，∴AF⊥BC．

又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．

再根據 ，可得∠CED=∠FDC．

又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，

∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．

（2）解：在面ACD內過C點作AD的垂線，垂足為G．

∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，

則∠CGE即為所求二面角的平面角．

作CH⊥AB，H為垂足．

∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH平面ABC，

故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，

∴∠CEH=45°為CE與平面ABE所成的角．

∵CE= ，∴CH=EH= ．

直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH= = =1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；

直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．

由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，

故△ACD為直角三角形，AD= = = ，

故CG= = = ，DG= = ，

，又 ，

則 ．

【解析】（1）取BC中點F，證明CE⊥面ADF，通過證明線面垂直來達到證明線線垂直的目的．（2）在面AED內過點E作AD的垂線，垂足為G，由（1）知，CE⊥AD，則∠CGE即為所求二面角的平面角，根據三角形的邊角關系進行求即可即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關系(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點)．