Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對任意x∈R，都有f（x）+f（-x）=x²，且x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a²，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在R上是增函數(shù)，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范圍

解答 解：令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}$，則$g（{-x}）=f（{-x}）-\frac{1}{2}{x^2}$，
則g（x）+g（-x）=f（x）+f（-x）-x²=0，得g（x）為R上的奇函數(shù)，
∵x＞0時(shí)，g'（x）=f'（x）-x＞0，故g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
再結(jié)合g（0）=0及g（x）為奇函數(shù)，知g（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，
又$g（{2-a}）-g（a）=f（{2-a}）-\frac{{{{（{2-a}）}^2}}}{2}-（{f（a）-\frac{a^2}{2}}）$=f（2-a）-f（a）-2+2a≥（2-2a）-2+2a=0
則g（2-a）≥g（a）等價(jià)于2-a≥a，解得a≤1，即a∈（-∞，1]．
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．