Question

3．設函數f（x）在R上存在導函數f′（x），對任意x∈R，都有f（x）+f（-x）=x²，且x∈（0，+∞）時，f′（x）＞x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a²，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函數g（x）為奇函數．利用導數可得函數g（x）在R上是增函數，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范圍

解答 解：令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}$，則$g（{-x}）=f（{-x}）-\frac{1}{2}{x^2}$，
則g（x）+g（-x）=f（x）+f（-x）-x²=0，得g（x）為R上的奇函數，
∵x＞0時，g'（x）=f'（x）-x＞0，故g（x）在（0，+∞）單調遞增，
再結合g（0）=0及g（x）為奇函數，知g（x）在（-∞，+∞）為增函數，
又$g（{2-a}）-g（a）=f（{2-a}）-\frac{{{{（{2-a}）}^2}}}{2}-（{f（a）-\frac{a^2}{2}}）$=f（2-a）-f（a）-2+2a≥（2-2a）-2+2a=0
則g（2-a）≥g（a）等價于2-a≥a，解得a≤1，即a∈（-∞，1]．
故選B．

點評 本題主要考查函數的奇偶性、單調性的應用，體現(xiàn)了轉化的數學思想，屬于中檔題．