Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與曲線y=e^x-2交于不同的兩點(diǎn)A、B，分別過(guò)A、B作x軸的垂線，與曲線y=lnx交于點(diǎn)C、D，則直線CD的斜率為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=kx（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），由A、B與曲線、直線的關(guān)系求出求出x₁和x₂，由斜率公式求出直線CD的斜率k，根據(jù)條件和對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)得到答案．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=kx（k＞0），
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
則C（x₁，lnx₁），D（x₂，lnx₂），
因?yàn)锳、B點(diǎn)在曲線y=e^x-2和直線l上，
所以kx₁=${e}^{{x}_{1}-2}$，兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)得x₁=2+lnkx₁，
同理可得x₂=2+lnkx₂，
所以直線CD的斜率k=$\frac{ln{x}_{2}-l{nx}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-l{nx}_{1}}{{lnkx}_{2}-lnk{x}_{1}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{ln\frac{k{x}_{2}}{k{x}_{1}}}$=1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與曲線的位置關(guān)系，直線斜率的公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，注意斜率、坐標(biāo)的范圍，考查計(jì)算、化簡(jiǎn)能力．