Question

20．已知數列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且當n≥2，且n∈N^*時，有$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+2}{2-{a}_{n}}$．
（1）求證：數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數列；
（2）已知函數f（n）=（$\frac{9}{10}$）ⁿ（n∈N^*），試問數列{$\frac{f（n）}{{a}_{n}}$}是否存在最大項，如果存在，求出最大項；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知數列遞推式變形，可得a_n-1-a_n=a_na_n-1，兩邊同時除以a_na_n-1，可得數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數列；
（2）由（1）求得數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項公式，代入{$\frac{f（n）}{{a}_{n}}$}，然后利用作差法求得數列{$\frac{f（n）}{{a}_{n}}$}的最大項．

解答 （1）證明：由$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+2}{2-{a}_{n}}$，得a_n-1-a_n=a_na_n-1，
即$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=1$（n≥2），
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為公差是1的等差數列；
（2）解：由（1）得$\frac{1}{{a}_{n}}=2+（n-1）×1=n+1$，
又f（n）=（$\frac{9}{10}$）ⁿ，
∴$\frac{f（n）}{{a}_{n}}$=$（n+1）•（\frac{9}{10}）^{n}$，
令$_{n}=（n+1）•（\frac{9}{10}）^{n}$，則$_{n+1}=（n+2）•（\frac{9}{10}）^{n+1}$，
則$_{n+1}-_{n}=（n+2）•（\frac{9}{10}）^{n+1}-（n+1）•（\frac{9}{10}）^{n}$=$（\frac{9}{10}）^{n}•\frac{8-n}{10}$．
∴當n＜8時，b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n；
當n=8時，b_n+1-b_n=0，即b_n+1=b_n；
當n＞8時，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n；
∴數列{$\frac{f（n）}{{a}_{n}}$}是否存在最大項第8項或第9項，其值為9•（$\frac{9}{10}$）⁸ ．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了利用數列的單調性求數列的最值，是中檔題．