Question

11．已知點(diǎn)A為橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，P（$\frac{8}{3}$，$\frac{3}$）是橢圓E上的一點(diǎn)，以AP為直徑的圓經(jīng)過橢圓E的右焦點(diǎn)F，直線l與橢圓相交于B、C兩點(diǎn)，且滿足k_OB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：△OBC的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由于以AP為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F，可得$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{AF}$=c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b²=0．把點(diǎn)P（$\frac{8}{3}$，$\frac{3}$）代入橢圓的方程為$\frac{64}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，與b²+c²=a²聯(lián)立解出即可得出a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，由斜率的公式，化簡可得t²=2+4k²，再由點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到△OBC的面積為定值．

解答 解：（1）A（0，b），
∵以AP為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F，∴PF⊥AF，
∴$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{AF}$=（c-$\frac{8}{3}$，-$\frac{3}$）•（c，-b）=c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b²=0．
把點(diǎn)P（$\frac{8}{3}$，$\frac{3}$）代入橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的方程為：$\frac{64}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，
解得a²=8，∴b²+c²=8，
可得b²=8-c²，代入c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b²=0，解得c=2，b=2．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在，令x=m，代入橢圓方程，
可得y=±2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{8}}$，由k_OB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{-4（1-\frac{{m}^{2}}{8}）}{{m}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得m=±2，交點(diǎn)為（2，±$\sqrt{2}$）或（-2，±$\sqrt{2}$），
即有△OBC的面積為$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程x²+2y²=8，
可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{t}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8{t}^{2}-32}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{8+16{k}^{2}-2{t}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
由k_OB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即為x₁x₂+2y₁y₂=0，由y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
可得（1+2k²）x₁x₂+2kt（x₁+x₂）+2t²=0，
即有（1+2k²）•$\frac{2{t}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+2kt（-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$）+2t²=0，
化簡可得，t²=2+4k²，
即有|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{2{t}^{2}}}{{t}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{|t|}$，
原點(diǎn)到直線y=kx+t的距離為d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得△OBC的面積為S=$\frac{1}{2}$d|BC|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{2}}{|t|}$=2$\sqrt{2}$．
總是可得△OBC的面積為定值2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式的運(yùn)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．