定義在(0 ， 
π
2
)上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）•tanx+f′（x）＜0成立，則（　　）
分析：由題意可得f（x）sinx+f′（x）cosx＜0．構(gòu)造函數(shù)g（x）=
f(x)
cosx
，x∈（0，
π
2
），有導(dǎo)數(shù)可得其單調(diào)性，可得g（
π
6
）＞g（
π
3
），變形可得．
解答：解：因為x∈（0，
π
2
），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）•tanx+f′（x）＜0，可得f（x）•
sinx
cosx
+f′（x）＜0，
即f（x）sinx+f′（x）cosx＜0．
令g（x）=
f(x)
cosx
，x∈（0，
π
2
），
則g′（x）=
f′(x)cosx-f(x)(-sinx)
cos2x
=
f′(x)cosx+f(x)sinx
cos2x
＜0，
故函數(shù)g（x）=
f(x)
cosx
在區(qū)間（0，
π
2
）上單調(diào)遞減，
故由g（
π
6
）＞g（
π
3
），即
f(
π
6
)
3
2
＞
f(
π
3
)
1
2
，
變形可得
3
f(
π
3
)＜f(
π
6
)
故選D
點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬中檔題型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①命題“對任意的x∈R，x2≥0”的否定是“存在x∈R，使x2＜0”；
②定義在[0，
π
2
]的函數(shù)f（x）=sinx，若0＜x1＜x2＜
π
2
，則必存在x∈（x1，x2），使（x1-x2）cosx=sinx1-sinx2成立；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2＜
1
4
成立的概率是
π
4
；
④設(shè)函數(shù)f（x）=xsinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，若f（x1）＞f（x2），則不等式x12＞x22必定成立．
其中真命題的序號是
 
．（填上所有真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在[0，2]上的函數(shù)f（x）滿足下列條件：
①對于x∈[0，2]，總有f（2-x）=f（x），且f（x）≥1，f（1）=3；②對于x，y∈[1，2]，若x+y≥3，則f（x）+f（y）≤f（x+y-2）+1．
證明：（1）對于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，則f（x+y）≥f（x）+f（y）-1
（2）f(
1
3n
)≤
2
3n
+1（n∈N*）；
（3）x∈[1，2]時，1≤f（x）≤13-6x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（1+x）-
14
x2 是定義在[0，2]上的函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）≥c對定義域內(nèi)的x恒成立，求c的取值范圍．．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[0，2]上的增函數(shù)，且f（2x+1）＞f（1-x），求實數(shù)x的取值范圍．（結(jié)果用集合表示）

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