Question

設定義在R上函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），x∈[0，1]，f（x）=x³且f（x-1）=cosπx，x∈[-2，4]有實數(shù)根之和為（　�。�

• A、6
• B、8
• C、10
• D、12

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，利用函數(shù)和方程之間的關系，轉化為兩個函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合以及函數(shù)的對稱性即可得到結論．

解答： 解：∵f（-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=f（2-x）=f（x-2），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
則f（x）的簡圖如圖（虛線），
將函數(shù)f（x）向右平移1個單位，得到函數(shù)f（x-1）的圖象（紅線），則函數(shù)f（x-1）關于x=1對稱，
∵y=cosπx的圖象也關于x=1對稱，
∴由圖象可知函數(shù)y=f（x-1）和y=cosπx，x∈[-2，4]共有10個交點，它們彼此關于x=1對稱，
設對稱的兩個實根為a，b，
則a+b=2，
故所有的實根之和為5×2=10，
故選：，C．

點評：本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據函數(shù)奇偶性和對稱性的性質，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．綜合考查函數(shù)的性質．