Question

4．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，且與橢圓x²+$\frac{y^2}{2}$=1有相同離心率，直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q，滿(mǎn)足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件列出橢圓幾何量的方程組，求解a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量關(guān)系，推出結(jié)果即可．

解答 解：（ I）由已知可$\left\{{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{c=1}\end{array}}\right.$，∴b=1．
所求橢圓C的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．         …（4分）
（ II）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²）．
由直線(xiàn)直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的A，B兩點(diǎn)，有△＞0，∴1+2k²＞m²．   ①
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}}\\{x{\;}_1{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}\end{array}}\right.$
于是${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+2{k^2}}}$．                   …（8分）
當(dāng)m=0時(shí)，易知點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則λ=0；
當(dāng)m≠0時(shí)，易知點(diǎn)A，B不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則λ≠0．
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_Q}=\frac{1}{λ}（{x_1}+{x_2}）}\\{{y_Q}=\frac{1}{λ}（{y_1}+{y_2}）}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_Q}=\frac{-4km}{{λ（1+2{k^2}）}}}\\{{y_Q}=\frac{2m}{{λ（1+2{k^2}）}}}\end{array}}\right.$．
∵Q點(diǎn)在橢圓上，∴${[\frac{-4km}{{λ（1+2{k^2}）}}]^2}+2{[\frac{2m}{{λ（1+2{k^2}）}}]^2}=2$．
化簡(jiǎn)得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，∴4m²=λ²（1+2k²）．   ②
由①②兩式可得λ²＜4，∴-2＜λ＜2且λ≠0．
綜上可得實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-2＜λ＜2．                  …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及圓錐曲線(xiàn)的范圍問(wèn)題的解法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．