Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（log₄a）+f（log

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4

a）≤2f（1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log₄a）+f（log

1

4

a）≤2f（1），即為f（|log₄a|）≤f（1），再由f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，得到|log₄a|≤1，即有-1≤log₄a≤1，解出即可．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），
由實(shí)數(shù)a滿足f（log₄a）+f（log

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4

a）≤2f（1），
則有f（log₄a）+f（-log₄a）≤2f（1），
即2f（log₄a）≤2f（1）即f（log₄a）≤f（1），
即有f（|log₄a|）≤f（1），
由于f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則|log₄a|≤1，即有-1≤log₄a≤1，
解得，

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4

≤a≤4．
故答案為：[

1

4

，4]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和運(yùn)用，考查對數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．