建造一個(gè)容積為8m3深為2m的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋水池,如果池底和池壁的造價(jià)分別為120元/m2和80元/m2
(1)求總造價(jià)關(guān)于一邊長(zhǎng)的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)判斷(1)中函數(shù)在(0,2]和[2,+∞)上的單調(diào)性并用定義法加以證明;
(3)如何設(shè)計(jì)水池尺寸,才能使總造價(jià)最低.
分析:(1)設(shè)總造價(jià)為y元,一邊長(zhǎng)為xm,則函數(shù)y=底面積×池底造價(jià)+側(cè)面積×池壁造價(jià),代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可,定義域是底邊長(zhǎng)的取值,為(0,+∞);
(2)由(1)知函數(shù)y=(
4
x
+x)×320+480
,用定義證明其單調(diào)性如下:【步驟一:取值】即任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2【步驟二:作差,整理】即y1-y2=(
4
x1
+x1)×320+480-(
4
x2
+x2)×320-480
=320
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
,【步驟三:比較,得結(jié)論】①當(dāng)0<x1<x2≤2時(shí),y1-y2>0,即y1>y2(函數(shù)單調(diào)遞減);②當(dāng)2≤x1<x2時(shí),y1-y2<0,即y1<y2(函數(shù)單調(diào)遞增);
(3)由(2)知,x=2時(shí),函數(shù)有最小值,計(jì)算f(2)即可.
解答:解:(1)設(shè)總造價(jià)為y元,一邊長(zhǎng)為xm,則y=4×120+2(
4
x
×2+x×2)×80
,
即:y=(
4
x
+x)×320+480
定義域?yàn)椋?,+∞);
(2)函數(shù)y=(
4
x
+x)×320+480
在(0,2]上為減函數(shù),在[2,+∞)上為增函數(shù);
用定義證明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
則y1-y2=(
4
x1
+x1)×320+480-(
4
x2
+x2)×320-480

=320(
4
x1
-
4
x2
+x1-x2)

=320
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
,
①當(dāng)0<x1<x2≤2時(shí),x1-x2<0,0<x1x2<4,即x1x2-4<0;
∴y1-y2>0,即y1>y2;
∴該函數(shù)在(0,2]上單調(diào)遞減;
②當(dāng)2≤x1<x2時(shí),x1-x2<0,x1x2>4,即x1x2-4>0;
∴y1-y2<0,即y1<y2,
∴該函數(shù)在[2,+∞)上單調(diào)遞增;
(3)由(2)知當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)有最小值ymin=f(2)=1760(元)
即:當(dāng)水池的長(zhǎng)與寬都為2m時(shí),總造價(jià)最低,為1760元.
點(diǎn)評(píng):本題考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性以及利用單調(diào)性判定函數(shù)的最值問(wèn)題,用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要嚴(yán)格按照步驟解答,以免出錯(cuò).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池,如果池底的造價(jià)為每平方米120元,池壁的造價(jià)為每平方米80元,
(1)設(shè)池底的長(zhǎng)為x m,試把水池的總造價(jià)S表示成關(guān)于x的函數(shù);
(2)如何設(shè)計(jì)池底的長(zhǎng)和寬,才能使總造價(jià)S最低,求出該最低造價(jià).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長(zhǎng)方形無(wú)蓋水池,如果池底和池壁的造價(jià)分別為120元/m2和80元/m2
(1)求總造價(jià)關(guān)于底面一邊長(zhǎng)的函數(shù)解析式,并指出函數(shù)的定義域;
(2)求總造價(jià)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池,池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元,如果水池的總造價(jià)為1 760元,則長(zhǎng)方體底面一邊長(zhǎng)為
2
2
米.

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某校要建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池,池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為240元和160元,那么水池的最低總造價(jià)為
3520
3520
元.

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建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長(zhǎng)方體元蓋水池,如果池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和80元,問(wèn)水池的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少元?

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