Question

建造一個(gè)容積為8m³深為2m的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)分別為120元/m²和80元/m²
（1）求總造價(jià)關(guān)于一邊長(zhǎng)的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；
（2）判斷（1）中函數(shù)在（0，2]和[2，+∞）上的單調(diào)性并用定義法加以證明；
（3）如何設(shè)計(jì)水池尺寸，才能使總造價(jià)最低．

Answer 1

分析：（1）設(shè)總造價(jià)為y元，一邊長(zhǎng)為xm，則函數(shù)y=底面積×池底造價(jià)+側(cè)面積×池壁造價(jià)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可，定義域是底邊長(zhǎng)的取值，為（0，+∞）；
（2）由（1）知函數(shù)y=(

4

x

+x)×320+480，用定義證明其單調(diào)性如下：【步驟一：取值】即任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂【步驟二：作差，整理】即y₁-y₂=(

4

x1

+x1)×320+480-(

4

x2

+x2)×320-480=320

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，【步驟三：比較，得結(jié)論】①當(dāng)0＜x₁＜x₂≤2時(shí)，y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂（函數(shù)單調(diào)遞減）；②當(dāng)2≤x₁＜x₂時(shí)，y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂（函數(shù)單調(diào)遞增）；
（3）由（2）知，x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，計(jì)算f（2）即可．

解答：解：（1）設(shè)總造價(jià)為y元，一邊長(zhǎng)為xm，則y=4×120+2(

4

x

×2+x×2)×80，
即：y=(

4

x

+x)×320+480定義域?yàn)椋?，+∞）；
（2）函數(shù)y=(

4

x

+x)×320+480在（0，2]上為減函數(shù)，在[2，+∞）上為增函數(shù)；
用定義證明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
則y₁-y₂=(

4

x1

+x1)×320+480-(

4

x2

+x2)×320-480
=320(

4

x1

-

4

x2

+x1-x2)
=320

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
①當(dāng)0＜x₁＜x₂≤2時(shí)，x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂-4＜0；
∴y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂；
∴該函數(shù)在（0，2]上單調(diào)遞減；
②當(dāng)2≤x₁＜x₂時(shí)，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即x₁x₂-4＞0；
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂，
∴該函數(shù)在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由（2）知當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值y_min=f（2）=1760（元）
即：當(dāng)水池的長(zhǎng)與寬都為2m時(shí)，總造價(jià)最低，為1760元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性以及利用單調(diào)性判定函數(shù)的最值問(wèn)題，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要嚴(yán)格按照步驟解答，以免出錯(cuò)．