Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）圖象與x軸交于點(diǎn)M（M異于原點(diǎn)），f（x）在M處的切線與直線x-y+10=0平行．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）已知非零實(shí)數(shù)t，求函數(shù)y=tg（x）-f（x）+x²，x∈[1，e]的最小值；
（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），給定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)α，β，存在實(shí)數(shù)m滿足：α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，并且使得不等式|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f（x）在M處的切線與直線x-y+10=0平行，即可得a值，從而得到f（2）的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，結(jié)合其性質(zhì)求出最值；
（Ⅲ）先由題意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，再利用導(dǎo)數(shù)工具研究所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，得到當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，下面對(duì)m進(jìn)行分類討論：①當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，②當(dāng)m≤0時(shí)，③當(dāng)m≥1時(shí)，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）y=f（x）圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M（a，0），f′（x）=2x-a
由題意可得2a-a=1，即a=1，…（2分）
∴f（x）=x²-x，f（2）=2²-2=2                  …（3分）
（Ⅱ）y=tg（x）-f（x）+x²=tlnx+x，
∴y′=

t

x

+1，
t＞-1時(shí)，x∈[1，e]為增函數(shù)，x=1時(shí)，y_min=1；
-e≤t≤-1時(shí)，[1，t]為減函數(shù)，[t，e]為增函數(shù)，x=t時(shí)，y_min=tln（-t）-t；
t＜-e時(shí)，x∈[1，e]為減函數(shù)，x=e時(shí)，y_min=t+e；
∴ymin=

1，(t＞-1，t≠0) tln(-t)-t，(-e≤t≤-1) t+e，(t＜-e)

…（8分）
（Ⅲ）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，F(xiàn)′（x）=

x-1

x2

≥0
所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增      　　…（9分）
∴當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0
①當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，有
α=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α=mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得α∈（x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂），…（10分）
∴由f（x）的單調(diào)性知  0＜F（x₁）＜F（α）、f（β）＜f（x₂）  
從而有|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|，符合題設(shè)．…（11分）
②當(dāng)m≤0時(shí)，
α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，
β=mx₂+（1-m）x₁≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
由f（x）的單調(diào)性知，
F（β）≤F（x₁）＜f（x₂）≤F（α）
∴|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設(shè)不符 …（12分）
③當(dāng)m≥1時(shí)，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
得|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設(shè)不符．…（13分）
∴綜合①、②、③得 m∈（0，1）…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．