Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)。
（1）求a、b的值；
（2）判斷并證明f(x)的單調(diào)性；
（3）若對任意的x∈R，不等式f(x²-x)+f(2x²-t)＜0恒成立，求t的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵f(x)是奇函數(shù)且0∈R，∴f(0)=0，即，∴b=1，
∴，
又由f(1)=-f(-1)知，，∴a=2，
∴。
（2）f(x)在(-∞，+∞)上為減函數(shù)，
證明如下：設(shè)x₁，x₂∈(-∞，+∞)且x₁＜x₂，則

，
∵y=2^x在(-∞，+∞)上為增函數(shù)且x₁＜x₂，∴且y=2^x＞0恒成立，
∴，
∴f(x₁)-f(x₂)＞0，
∴f(x)在(-∞，+∞)上為減函數(shù)。
（3）∵f(x)是奇函數(shù)，
∴f(x²-x)+f(2x²-t)＜0等價(jià)于f(x²-x)＜-f(2x²-t)=f(-2x²+t)，
又∵f(x)是減函數(shù)，
∴x²-x＞-2x²+t，即一切x∈R，3x²-x-t＞0恒成立，
∴判別式△=1+12t＜0，即t＜。