Question

6．設f（x）的定義域為D，f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數．
①f（x）在D內是單調函數；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
如果f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k為閉函數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數的定義域，判斷函數的單調性，利用新定義結合函數的圖象，函數的單調性求解函數的值域，滿足想的一樣求出k的范圍．

解答 解：∵k是常數，函數$y=\sqrt{2x+1}$是定義在$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上的增函數，
∴函數$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$是$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上的增函數，…（2分）
因此，若函數$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$為閉函數，則存在區(qū)間[a，b]⊆D，
使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
可得函數y=f（x）的圖象與直線y=x相交于點（a，a）和（b，b）（如圖所示）

∴$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2a+1}+k=a\\ \sqrt{2b+1}+k=b\end{array}\right.$，可得方程$k=x-\sqrt{2x+1}$在$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$上有兩個不相等的實數根a、b…（5分）
令$t=\sqrt{2x+1}$，得$x=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，設函數$F（x）=x-\sqrt{2x+1}=g（t）$，（t≥0）
即$g（t）=\frac{1}{2}{t^2}-t-\frac{1}{2}$，
在t∈[0，1]時，g（t）為減函數，$-1≤g（t）≤-\frac{1}{2}$；
在t∈[1，+∞）時，g（t）為增函數，∴g（t）≥-1；
∴當$-1≤k≤-\frac{1}{2}$時，有兩個不相等的t值使g（t）=k成立，
相應地有兩個不相等的實數根a、b滿足方程$k=x-\sqrt{2x+1}$，
當$f（x）=\sqrt{2x+1}+k$為閉函數時，實數k的取值范圍是：$-1≤k≤-\frac{1}{2}$．…（10分）

點評 本題考查函數的定義域、值域，函數的單調性以及新定義的應用，考查轉化思想數形結合思想的應用．