Question

已知f（x）=acosx+bsinx+c（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），(

π

2

，1)，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，恒有|f（x）|≤2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），(

π

2

，1)，得出a，b，c的關(guān)系，將原函數(shù)只用一個(gè)參數(shù)來(lái)表示，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出函數(shù)的最值列不等關(guān)系，最后解不等式即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由題意，得

a+c=1?c=1-a b+c=1?b=1-c=a

（3分）∴f(x)=a(cosx+sinx)+1-a=

2

asin(x+

π

4

)+1-a（5分）
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，sin(x+

π

4

)∈[

2

2

，1]（8分）
由|f（x）|≤2，得|

2

a+1-a|≤2（12分）
即-2≤(

2

-1)a+1≤2?-

3

2 -1

≤a≤

1

2 -1

解得-3

2

-3≤a≤

2

+1（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)恒成立問(wèn)題．