Question

如圖，四邊形MNPQ是⊙C的內(nèi)接梯形，C是圓心，C在MN上，向量

CM

與

PN

的夾角為120°，

QC

•

QM

=2．
（1）求⊙C的方程；
（2）求以M、N為焦點且過點P、Q的橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）建立直角坐標(biāo)系，確定圓心，解三角形并利用2個向量的數(shù)量積公式求出半徑，從而寫出圓的方程．
（2）根據(jù)橢圓的定義、幾何性質(zhì)，求出a、b、c 的值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程

解答：解：（1）以MN所在直線為x軸，C為原點，建立直角坐標(biāo)系xOy．
∵

CM

與

PN

的夾角為120°，故∠QCM=60°．
于是△QCM為正三角形，∠CQM=60°．
又

QC

•

QM

=2，即|

QC

||

QM

|cos∠CQM=2，于是r=|

QC

|=2．
故⊙C的方程為x²+y²=4．

（2）依題意2c=4，2a=|QN|+|QM|，
而|QN|=

42-22

=2

3

，|QM|=2，
于是a=

3

+1，b²=a²-c²=2

3

．
∴所求橢圓的方程為

x2

4+2 3

+

y2

2 3

=1．

點評：本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法．