【題目】已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設向量=(a,b),=(sin B,sin A), =(b-2,a-2).
(1)若∥,求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若⊥,邊長c=2,∠C=,求△ABC的面積.
【答案】(1)見解析.
(2) .
【解析】分析:(1)根據(jù)正弦定理和向量平行的條件,問題得以證明;
(2)根據(jù)向量垂直則數(shù)量積等于0,利用余弦定理,求出ab的積,然后利用三角形的面積公式,即可解得.
詳解:
(1)證明 ∵∥,∴asin A=bsin B,
即a·=b· (其中R是△ABC外接圓的半徑).
∴a=b,∴△ABC為等腰三角形.
(2)解 由⊥得·=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,
∴a+b=ab.
又c=2,∠C=,∴4=a2+b2-2abcos,即有
4=(a+b)2-3ab.
∴(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1舍去).
因此S△ABC=absin C=×4×= .
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【題目】定義域為的函數(shù)滿足:,且對于任意實數(shù),恒有,當時,.
(1)求的值,并證明當時,;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明;
(3)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓 經(jīng)過點 ,離心率為 ,左、右焦點分別為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線 與橢圓交于A,B兩點,與以 為直徑的圓交于C,D兩點,求 的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足:a1=1,an+1-sin2θ·an=cos 2θ·cos2nθ,其中θ∈.
(1)當θ=時,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在(1)的條件下,若數(shù)列{bn}滿足bn=sin+cos (n∈N*,n≥2),且b1=1,求證:對任意的n∈N*,1≤bn≤恒成立.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若函數(shù) 在 處有極值 ,求 的值;
(2)若對于任意的 在 上單調(diào)遞增,求 的最小值.
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【題目】已知正項數(shù)列的前n項和為,且滿足,數(shù)列滿足,,且..
(1)求數(shù)列與的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項的;
(3)將數(shù)列與的項相間排列構成新數(shù)列,設新數(shù)列的前項和為,若對任意正整數(shù)n都有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知圓 ,圓心為 ,定點 , 為圓 上一點,線段 上一點 滿足 ,直線 上一點 ,滿足 .
(Ⅰ)求點 的軌跡 的方程;
(Ⅱ) 為坐標原點, 是以 為直徑的圓,直線 與 相切,并與軌跡 交于不同的兩點 .當 且滿足 時,求 面積 的取值范圍.
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【題目】已知拋物線 ,直線 與 交于 , 兩點,且 ,其中 為坐標原點.
(1)求拋物線 的方程;
(2)已知點 的坐標為(-3,0),記直線 、 的斜率分別為 , ,證明: 為定值.
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