Question

已知cosα+sinβ=

3

，sinα+cosβ的取值范圍是D，x∈D，則函數(shù)log

1

9

2x+3

4x+7

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的求值

分析：令t=sinα+cosβ，①cosα+sinβ=

3

，②，①²+②²，由平方關系和兩角和的正弦公式及正弦函數(shù)的值域即可得到范圍D，令y=

2x+3

4x+7

，則可運用導數(shù)求出區(qū)間D的單調(diào)性，即可得到y(tǒng)的最大值，從而由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到最小值．

解答： 解：令t=sinα+cosβ，①
cosα+sinβ=

3

，②
①²+②²，得t²+3=2+2sin（α+β）．
∴2sin（α+β）=t²+1∈[-2，2]．
即t²+1≤2且t²+1≥-2，解得-1≤t≤1，
即有取值范圍D為[-1，1]，
由于x∈D，令y=

2x+3

4x+7

，則y=

2x+3

2(2x+3)+1

=

1

2 2x+3 + 1 2x+3

≤

1

2 2

，
當且僅當2

2x+3

=

1

2x+3

，即有x=-

5

4

∉[-1，1]，
故y取不到最大值

1

2 2

．
則函數(shù)的導數(shù)y′=

-4x-5

2x+3 •(4x+7)2

，在[-1，1]上y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)，
則有x=-1，即y有最大值為

1

3

，
則函數(shù)log

1

9

2x+3

4x+7

的最小值為log

1

9

1

3

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的取值范圍和復合函數(shù)的最值，考查三角恒等變換公式的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查運算能力，屬于中檔題．