分析 (Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出k,b的值,
(Ⅱ)先求導(dǎo),再分類(lèi)討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系即可求出.
(Ⅲ)當(dāng)a=0時(shí),若函數(shù)h(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合即可求b的取值范圍;
解答 解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$ax2+lnx,x>0,
∴f′(x)=ax+$\frac{1}{x}$,
∵曲線y=f(x)與直線y=3x+b在x=1處相切,
∴f′(1)=a+1=3,
∴a=2,
∴f(1)=1+ln1=1,
∴1=3+b,
∴b=-2,
(Ⅱ)由(1)可得f′(x)=ax+$\frac{1}{x}$,
當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)=ax+$\frac{1}{x}$>0恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a<0時(shí),令f′(x)=0,解得x=$\sqrt{\frac{1}{-a}}$=$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$,
當(dāng)x∈(0,$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈($\frac{\sqrt{-a}}{-a}$,+∞)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
(Ⅲ)a=0時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)+bx=lnx+bx
令m(x)=lnx,n(x)=-bx,
要使得h(x)有兩個(gè)零點(diǎn),即使得m(x)和n(x)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖),
容易求得m(x)和n(x)的切點(diǎn)為(e,1),
∴0<-b<$\frac{1}{e}$,即-$\frac{1}{e}$<b<0.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,考查考生的應(yīng)用,運(yùn)算量大,綜合性較強(qiáng),屬于難題
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A. | g(x)是奇函數(shù) | B. | g(x)的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對(duì)稱 | ||
C. | g(x)在[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$]上的增函數(shù) | D. | 當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$]時(shí),g(x)的值域是[-2,1] |
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A. | 3π | B. | 4π | C. | 5π | D. | 12π |
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