Question

9．已知函數f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的圖象與x軸交點的橫坐標，依次構成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數列，把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數g（x）的圖象，則（　�。�

• A． g（x）是奇函數
• B． g（x）的圖象關于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱
• C． g（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的增函數
• D． 當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時，g（x）的值域是[-2，1]

Answer 1

分析 利用正弦函數的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性，正弦函數的單調性、定義域和值域，得出結論．

解答 解：函數f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的圖象與x軸交點的橫坐標，
依次構成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數列，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
把函數f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，
得到函數g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x的圖象，
故g（x）是偶函數，故排除A；
當x=-$\frac{π}{4}$時，g（x）=0，故g（x）的圖象不關于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱，故排除B；
在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上，2x∈[$\frac{π}{2}$，π]，故g（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的減函數，故排除C；
當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時，2x∈[$\frac{π}{3}$ $\frac{4π}{3}$]，當2x=π時，g（x）=2cos2x取得最小值為-2，
當2x=$\frac{π}{3}$時，g（x）=2cos2x取得最大值為1，故函數 g（x）的值域為[-2，1]，
故選：D．

點評 本題主要考查正弦函數的周期性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象的對稱性，正弦函數的單調性、定義域和值域，屬于中檔題．