Question

如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形？
（2）滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為矩形？
（3）滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形？

Answer 1

分析：（1）E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點(diǎn)，說(shuō)明四邊形EFGH為平行四邊形，利用類(lèi)比推理相似比判斷得到結(jié)果；
（2）E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點(diǎn)且BD⊥AC，判定四邊形EFGH為矩形；
（3）E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點(diǎn)且BD⊥AC，AC=BD，判定四邊形EFGH為正方形．

解答：解：（1）當(dāng)E，F(xiàn)，G，H滿(mǎn)足

BE

BA

=

BF

BC

=

DH

DA

=

DG

DC

時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形，
不妨以E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點(diǎn)，證明如下：
∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，
∴EH

∥

.

1

2

BD，同理，F(xiàn)G

∥

.

1

2

BD．
從而EH綊FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）當(dāng)E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點(diǎn)且BD⊥AC時(shí)，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四邊形EFGH為矩形．
（3）當(dāng)E，F(xiàn)，G，H分別為所在邊的中點(diǎn)且BD⊥AC，可得AC∥EF，BD∥FG，所以EF⊥FG，所以平行四邊形EFGH為矩形，AC=BD時(shí)
EF=FG，四邊形EFGH為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征及其性質(zhì)，考查基本知識(shí)掌握情況，是基礎(chǔ)題．