Question

1．關于x的二次函數(shù)，f（x）=x²-ax+1，x∈[0，1]．
（1）求該函數(shù)在定義域上的最小值g（a）的解析式；
（2）若該函數(shù)最小值為$\frac{1}{2}$，求a值．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)的對稱軸方程，然后分類得到函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性，由單調(diào)性求得最小值；
（2）直接分類由最小值為$\frac{1}{2}$解得a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax+1的對稱軸方程為x=$\frac{a}{2}$，
當$\frac{a}{2}≤0$，即a≤0時，g（a）=f（0）=1．
當$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2時，g（a）=f（1）=2-a．
當0$＜\frac{a}{2}＜1$，即0＜a＜2時，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∴$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{1，a≤0}\\{1-\frac{{a}^{2}}{4}，0＜a＜2}\\{2-a，a≥2}\end{array}\right.$；
（2）由$1-\frac{{a}^{2}}{4}=\frac{1}{2}$，解得：a=$±\sqrt{2}$，∵0＜a＜2，∴a=$\sqrt{2}$．
由2-a=$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{3}{2}$（舍）．
∴若該函數(shù)最小值為$\frac{1}{2}$，則a=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是基礎題．