Question

11．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，AA₁=2，D為BB₁的中點(diǎn)，則AD與平面AA₁C₁C所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AD與平面AA₁C₁C所成角的余弦值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，D為BB₁的中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），
平面AA₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
AD與平面AA₁C₁C所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴AD與平面AA₁C₁C所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．