【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)M(0,t﹣2),N(0,t+2),P(﹣2,0).其中t∈R.
(1)求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)P作直線l交軌跡E于不同的兩點(diǎn)A,B,直線OA與直線OB分別交直線x=2于兩點(diǎn)C,D,記△ACD與△BCD的面積分別為S1 , S2 . 求S1+S2的最小值.

【答案】
(1)

解:設(shè)動(dòng)圓的圓心為E(x,y)

即:(x+2)2+y2=4+x2

∴y2=﹣4x

即:動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程為y2=﹣4x


(2)

解:當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),AB⊥x軸,此時(shí),

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的斜率為k,則k≠0,

直線AB的方程是y=k(x+2),k≠0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程 ,消去y,

得:k2(x+2)2+4x=0(k≠0),即:k2x2+4(k2+1)x+4k2=0(k≠0)

∴△=16(2k2+1)>0, ,x1x2=4

由A(x1,y1),B(x2,y2)知,直線AC的方程為 ,直線AC的方程為 ,

,∴

,

,則t>0,

由于 函數(shù) 在(0,+∞)上是增函數(shù)

綜上所述,

∴S1+S2的最小值為


【解析】(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心為E(x,y),通過 ,化簡求解即可.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),AB⊥x軸,驗(yàn)證即可.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的斜率為k,則k≠0,直線AB的方程是y=k(x+2),k≠0.設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),聯(lián)立方程 ,通過判別式韋達(dá)定理化簡,求出直線AC的方程為 ,直線AC的方程為 ,表示出三角形的面積,求出面積和,利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

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(Ⅱ)設(shè)N(0,﹣2),過點(diǎn)P(1,2)作直線l,交橢圓C2于異于N的A、B兩點(diǎn).
(ⅰ)若直線NA、NB的斜率分別為k1、k2 , 證明:k1+k2為定值.
(ⅱ)以B為圓心,以BF2為半徑作⊙B,是否存在定⊙M,使得⊙B與⊙M恒相切?若存在,求出⊙M的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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