【題目】設(shè)拋物線C1:y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F1 , 焦點(diǎn)為F2 . 以F1 , F2為焦點(diǎn),離心率為 的橢圓記為C2 . (Ⅰ)求橢圓C2的方程;
(Ⅱ)設(shè)N(0,﹣2),過點(diǎn)P(1,2)作直線l,交橢圓C2于異于N的A、B兩點(diǎn).
(ⅰ)若直線NA、NB的斜率分別為k1、k2 , 證明:k1+k2為定值.
(ⅱ)以B為圓心,以BF2為半徑作⊙B,是否存在定⊙M,使得⊙B與⊙M恒相切?若存在,求出⊙M的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由已知F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0). 令橢圓C2的方程為 ,焦距為2c,(c>0)
則 ,解之得 ,
所以,橢圓C2的方程為 .
(Ⅱ)(。┳C明:當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),l:x=1,
由 得 或 ,
不妨取 ,則 ,
此時(shí), ,
所以k1+k2=4.
當(dāng)直線l斜率存在時(shí),令l:y﹣2=k(x﹣1),
由 得(1+2k2)x2+(8k﹣4k2)x+2k2﹣8k=0,
由△=(8k﹣4k2)2﹣4(1+2k2)(2k2﹣8k)>0得k>0,或 .
令A(yù)(x1 , y1),B(x2 , y2),則 , ,
所以, ,
所以, = = ,
=
=
= =2k﹣(2k﹣4)=4,
綜上所述,k1+k2=4.
(ⅱ)存在定⊙M,使得⊙B與⊙M恒相切,⊙M的方程為(x﹣2)2+y2=32,圓心為左焦點(diǎn)F1 ,
由橢圓的定義知 ,
所以, ,
所以兩圓相切.
【解析】(Ⅰ)由題意,設(shè)橢圓的方程,根據(jù)橢圓的離心率公式及c=2,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)(。┓诸悾(dāng)直線l斜率不存在時(shí),求得A和B點(diǎn)坐標(biāo),即可求得k1+k2 , 當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式,即可求得k1+k2=4;(ⅱ)定圓⊙M的方程為:(x﹣2)2+y2=32,求得圓心,由拋物線的性質(zhì),可求得 兩圓相內(nèi)切.
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【題目】如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是S=720,則判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件是( )
A.i≤7
B.i>7
C.i≤9
D.i>9
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=x2+|x﹣m|(m為實(shí)數(shù))是偶函數(shù),記a=f(log e),b=f(log3π),c=f(em)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則a,b,c的大小關(guān)系( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.c<b<a
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【題目】已知橢圓 的離心率為 ,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4,圓M:(x+1)2+y2=r2(0<r<1).過橢圓C的上頂點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B,D兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)A),直線AB,AD的斜率分別為k1 , k2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)r變化時(shí),①求k1k2的值;②試問直線BD是否過某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知向量 ,函數(shù) . (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若 ,a=2,求b+c的取值范圍.
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【題目】中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法,如圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=3,n=3,輸入的a依次為由小到大順序排列的質(zhì)數(shù)(從最小質(zhì)數(shù)開始), 直到結(jié)束為止,則輸出的s=( )
A.9
B.27
C.32
D.103
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)M(0,t﹣2),N(0,t+2),P(﹣2,0).其中t∈R.
(1)求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)P作直線l交軌跡E于不同的兩點(diǎn)A,B,直線OA與直線OB分別交直線x=2于兩點(diǎn)C,D,記△ACD與△BCD的面積分別為S1 , S2 . 求S1+S2的最小值.
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【題目】對(duì)于函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)使得,那么稱為的線性函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),判斷是否分別為的線性函數(shù)?并說明理由;
第一組:
第二組::
(2)設(shè),線性函數(shù)為.若等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),取.線性函數(shù)圖像的最低點(diǎn)為.若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)且.試問是否存在最大的常數(shù),使恒成立?如果存在,求出這個(gè)的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣ax+(3﹣a)lnx,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x﹣y+1=0垂直,求a的值;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x1)+f(x2)>﹣5.
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