Question

6．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ），（A＞0，|φ|＜π，ω＞0）的一段圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求這個函數(shù)的周期和遞增區(qū)間；
（3）說明該函數(shù)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．

Answer 1

分析 （1）由圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，通過圖象經(jīng)過（$\frac{π}{6}$，2），求出φ，從而得到f（x）的解析式．
（2）由（1）可得函數(shù)的周期T，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵由函數(shù)的圖象可得A=2，T=2×（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，
∴解得ω=2．
∵圖象經(jīng)過（$\frac{π}{6}$，2），可得：2=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），
∴可得：2×$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)的解析式為：y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）可得函數(shù)的周期T=2×（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，可得函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)的周期的求法，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．