Question

已知函數(shù)f(x)＝ax²－2x＋lnx.

(1)若f(x)無(wú)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)f′(x)有零點(diǎn)，求a的值；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明f(x)的極小值小于－.

Answer 1

解析　(1)首先，x>0，

f′(x)＝2ax－2＋＝，

f′(x)有零點(diǎn)而f(x)無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f(x)同號(hào)，故a≠0，且2ax²－2x＋1＝0的Δ＝0.由此可得a＝.

(2)由題意，2ax²－2x＋1＝0有兩不同的正根，故Δ>0，a>0.解得0<a<.

設(shè)2ax²－2x＋1＝0有兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁<x₂，因?yàn)樵趨^(qū)間(0，x₁)，(x₂，＋∞)上，f(x)>0，而在區(qū)間(x₁，x₂)上，f(x)<0，故x₂是f(x)的極小值點(diǎn)．

因f(x)在區(qū)間(x₁，x₂)上f(x)是減函數(shù)，如能證明f()<－.

由韋達(dá)定理，＝，f()＝a()²－2()＋ln＝ln－·.

令＝t，其中t>1.設(shè)g(t)＝lnt－t＋，利用導(dǎo)數(shù)容易證明g(t)．

當(dāng)t>1時(shí)單調(diào)遞減，而g(1)＝0，因此g(t)<0，即f(x)的極小值f(x₂)<0.

(2)另證：實(shí)際上，我們可以用反代的方式證明f(x)的極小值均小于－.

由于兩個(gè)極值點(diǎn)是方程2ax²－2x＋1＝0的兩個(gè)正根，所以反過(guò)來(lái)，a＝(用x₁表示a的關(guān)系式與此相同)，這樣f(x₂)＝ax－2x₂＋lnx₂＝

即f(x₂)＝lnx₂－x₂－，再證明該式小于－是容易的(注意x₂≠1，下略).