Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，點E、F分別為VB、VC的中點．平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）若二面角C-VB-A為90°，且VA=BC=

1

2

AC，求二面角A-VC-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得EF∥BC，由此能證明EF∥平面ABC．
（2）在△ABC內任取一點O，作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于N，由已知得VA⊥BC，作AH⊥VB于H，作AG⊥VC于G，連結GH，得GH⊥VC，∠AGH為二面角A-VC-B的平面角，由此能求出二面角A-VC-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵點E，F分別為VB、VC的中點，
∴EF∥BC，
∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）解：在△ABC內任取一點O，作OM⊥AB于M，
∵面VAB⊥面ABC，交線為AB，
∴OM⊥面VAB，∴VA⊥OM，
同理，作ON⊥AC于N，則VA⊥ON，
又OM∩ON=O，OM，ON?平面ABC，
∴VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC，
作AH⊥VB于H，
∵二面角C-VB-A為90°，
∴平面VBC⊥平面VAB，交線為VB，
∴AH⊥平面VBC，∴BC⊥AH，
∵AH∩VA=A，AH，VA?平面VAB，
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥AB，BC⊥VB，
作AG⊥VC于G，連結GH，
由三垂線定理的逆定理，得GH⊥VC，
∴∠AGH為二面角A-VC-B的平面角，
設AC=2，由VA=BC=1，
在Rt△VAC中，AC=2，VA=1，VC=

5

，
∴AG=

VA•AC

VC

=

2

5

，
在Rt△ABC中，AC=2，BC=1，AB=

AC2-BC2

=

3

，
在Rt△VAB中，VA=1，AB=

3

，VB=2，
AH=

VA•AB

VB

=

3

2

，
在Rt△VGH中，GH=

AG2-AH2

=

1

2 5

，
∴cos∠AGH=

GH

AG

=

1

4

，
∴二面角A-VC-B的余弦值為

1

4

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．