Question

14．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{kx-1}{x-1}$（k＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，求 實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得，$\frac{kx-1}{x-1}$＞0，從而分類討論求定義域；
（2）若函數(shù)f（x）=ln$\frac{kx-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，則y=$\frac{kx-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，且$\frac{kx-1}{x-1}$＞0在[10，+∞）上恒成立；結(jié)合（1）可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜1}\\{\frac{1}{k}＜10}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：（1）由題意得，$\frac{kx-1}{x-1}$＞0，
①當(dāng)0＜k＜1時(shí)，x＞$\frac{1}{k}$或x＜1；
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（$\frac{1}{k}$，+∞）；
②當(dāng)k=1時(shí)，x＞1或x＜1；
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）；
③當(dāng)k＞1時(shí)，x＜$\frac{1}{k}$或x＞1；
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{k}$）∪（1，+∞）；
（2）若函數(shù)f（x）=ln$\frac{kx-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，
則y=$\frac{kx-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，且$\frac{kx-1}{x-1}$＞0在[10，+∞）上恒成立；
由（1）知，$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜1}\\{\frac{1}{k}＜10}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{1}{10}$＜k＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的定義域的求法及分類討論的思想應(yīng)用．