Question

13．如圖，在三棱錐C-PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AB上，且MN⊥AB．
（1）求AN的長；
（2）求銳二面角P-NC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖，分別取AB，AC的中點(diǎn)O，Q，連接OP，OQ，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)P為x軸，以O(shè)A為y軸，以O(shè)Q為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)N（0，t，0）．由$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{NM}$•$\overrightarrow{BA}$=0，解得t，即可得出AN．
（2）設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，平面ANC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（1）如圖，分別取AB，AC的中點(diǎn)O，Q，連接OP，OQ，
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)P為x軸，以O(shè)A為y軸，以O(shè)Q為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意知：A（0，3，0），B（0，-3，0），
P（4，0，0），C（0，-3，4），
M（2，-$\frac{3}{2}$，2），N（0，t，0）．
$\overrightarrow{NM}$=$（2，-\frac{3}{2}-t，2）$，$\overrightarrow{BA}$=（0，6，0）．
∵$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{BA}$，∴$\overrightarrow{NM}$•$\overrightarrow{BA}$=$6（-\frac{3}{2}-t）$=0，解得t=-$\frac{3}{2}$，
∴AN=3-$（-\frac{3}{2}）$=$\frac{9}{2}$．
（2）N$（0，-\frac{3}{2}，0）$，∴$\overrightarrow{NC}$=$（0，-\frac{3}{2}，4）$，$\overrightarrow{NM}$=（2，0，2），
設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}y+4z=0}\\{2x+2z=0}\end{array}\right.$，則取$\overrightarrow{n}$=（-3，8，3），
平面ANC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{9+64+9}×1}$=-$\frac{3\sqrt{82}}{82}$．
∴銳二面角P-NC-A的余弦值為$\frac{3\sqrt{82}}{82}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．