Question

5．某超市從2017年1月甲、乙兩種酸奶的日銷(xiāo)售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)抽取100個(gè)，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分組，得到頻率分布直方圖如下：

假設(shè)甲、乙兩種酸奶獨(dú)立銷(xiāo)售且日銷(xiāo)售量相互獨(dú)立．
（Ⅰ）寫(xiě)出頻率分布直方圖（甲）中的a值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷(xiāo)售量（單位：箱）的方差分別為S₁²與S₂²，試比較S₁²與S₂²的大�。ㄖ恍鑼�(xiě)出結(jié)論）；
（Ⅱ）估計(jì)在未來(lái)的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷(xiāo)售量恰有一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱的概率；
（Ⅲ）設(shè)X表示在未來(lái)3天內(nèi)甲種酸奶的日銷(xiāo)售量不高于20箱的天數(shù)，以日銷(xiāo)售量落入各組的頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）設(shè)事件A：在未來(lái)的某一天里，甲種酸奶的銷(xiāo)售量不高于20箱；事件B：在未來(lái)的某一天里，乙種酸奶的銷(xiāo)售量不高于20箱；事件C：在未來(lái)的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷(xiāo)售量恰好一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，利用二項(xiàng)分布列的性質(zhì)求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 解：（Ⅰ）由各小矩形面積和為1，
得（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，
解得a=0.015，
由頻率分布直方圖可看出，甲的銷(xiāo)售量比較分散，而乙較為集中，主要集中在20-30箱，
故s₁²＞s₂²．
（II）設(shè)事件A：在未來(lái)的某一天里，甲種酸奶的銷(xiāo)售量不高于20箱；
事件B：在未來(lái)的某一天里，乙種酸奶的銷(xiāo)售量不高于20箱；
事件C：在未來(lái)的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷(xiāo)售量恰好一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱．
則P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．
∴P（C）=P（$\overline{A}$）P（B）+P（A）P（$\overline{B}$）=0.42．
（III）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，3，X～B（3，0.3）P（X=k）=${∁}_{3}^{k}×0．{3}^{k}×0．{7}^{3-k}$，
∴P（X=0）=0.343，P（X=1）=0.441，P（X=2）=0.189，P（X=3）=0.027，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

E（X）=3×0.3=0.9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、二項(xiàng)分布列的概率計(jì)算公式數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．