Question

函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，且滿足對于定義域內(nèi)任意的x₁，x₂都有等式f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解關(guān)于x的不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

解：（1）令x₁=1，得f（1•x₂）=f（1）+f（x₂）=f（x₂）
∴f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f（-1•（-1））=f（-1）+f（-1）=f（1）=0
∴f（-1）=0
因此f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)
（3）∵f（4）=1，∴f（16）=f（4•4）=f（4）+f（4）=2
因此，f（64）=f（16•4）=f（16）+f（4）=3
∴不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且是偶函數(shù)
∴原不等式可化為-64≤（3x+1）（2x-6）≤64
解之得：-≤x≤5
∵函數(shù)定義域為{x|x≠0}
∴（3x+1）（2x-6）≠0，得x≠-且x≠3
綜上所述，原不等式的解集為{x|：-≤x≤5且x≠-且x≠3}
分析：（1）令x₁=1，得f（1）+f（x₂）=f（x₂），由此可得f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f（-1）+f（-1）=f（1）=0，從而f（-1）=0，所以f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），從而得到f（x）為偶函數(shù)；
（3）由f（4）=1，結(jié)合題意得f（64）=3，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），再結(jié)合f（x）的單調(diào)性和奇偶性，將原不等式化為-64≤（3x+1）（2x-6）≤64，解之并結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得到原不等式的解集．
點評：本題給出抽象函數(shù)為偶函數(shù)且是（0，+∞）上的增函數(shù)，求函數(shù)的值并求不等式的解集，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、不等式的解法等知識，屬于中檔題．