Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

．
（1）當(dāng)a=-5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若存在正數(shù)a使函數(shù)f（x）的最小值為2且正數(shù)m，n滿足m+2n=a，試求m²+n²最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式

分析：（1）由題設(shè)知：|x+1|+|x-2|-5≥0，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|x+1|+|x-2|和y=5的圖象，可得定義域；（2）利用|x+1|+|x-2|≥3，可得f（x）的最小值，根據(jù)最小值為2，可得m+2n=1，由柯西不等式有（1²+2²）（m²+n²）≥（1•m+2•n）²=1，即可求m²+n²最小值．

解答： 解：（1）由題設(shè)知：|x+1|+|x-2|-5≥0…2分
如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|x+1|+|x-2|和y=5的圖象（如圖所示）得定義域?yàn)椋?∞，2]∪[3，+∞）．…5分
（2）∵|x+1|+|x-2|≥3，
∴f（x）的最小值為

3+a

…7分
由

3+a

=2得a=1…8分
∴m+2n=1…9分
∴由柯西不等式有（1²+2²）（m²+n²）≥（1•m+2•n）²=1　…11分
∴m²+n²≥

1

5

，當(dāng)且僅當(dāng)m=

1

5

，n=

2

5

時(shí)等號(hào)成立…12分
∴m²+n²的最小值為

1

5

．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查柯西不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．