Question

已知拋物線C的頂點是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，且焦點與該橢圓右焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若P（a，0）為x軸上一動點，過P點作直線交拋物線C于A、B兩點．
（�。┰OS_△AOB=t•tan∠AOB，試問：當a為何值時，t取得最小值，并求此最小值．
（ⅱ）若a=-1，點A關于x軸的對稱點為D，證明：直線BD過定點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，設拋物線C的標準方程為y²=2px（x＞0），焦點F（

p

2

，0），由橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點為（1，0），知p=2，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）（ⅰ）設直線AB：my=x-a．聯立

my=x-a y2=4x

，得

y2

4

-my-a=0，由此能推導出當a=2時，t有最小值一2．
（ⅱ）由（�。┲狣（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，直線BD的方程為y-y2=

y2+y1

y 2 2 4 - y 2 1 4

•(x-

y 2 2

4

)，由此能導出直線BD過定點（1，0）．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設拋物線C的標準方程為y²=2px（x＞0），焦點F（

p

2

，0），
∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點為（1，0），
∴

p

2

=1，即p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x，…（4分）
（Ⅱ）（�。┰O直線AB：my=x-a．
聯立

my=x-a y2=4x

，消x得

y2

4

-my-a=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-4a，x1x2=

y 2 1 y 2 2

16

=a2，…（6分）
由S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin∠AOB
=

1

2

|OA|•|OB|•cos∠AOB•tan∠AOB，
∴t=

1

2

|OA|•|OB|•cos∠AOB，
∵|OA|•|OB|•cos∠AOB=

OA

•

OB

=x1x2+y1y2，…（8分）
∴t=

1

2

(x1x2+y1y2)=

1

2

(a2-4a)=

1

2

(a-2) 2-2≥-2，
∴當a=2時，t有最小值一2．…（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
直線BD的方程為y-y₂=

y1+y2

x2-x1

•(x-x2)，
即y-y2=

y2+y1

y 2 2 4 - y 2 1 4

•(x-

y 2 2

4

)
y=y2+

4

y2-y1

(x-

y 2 2

4

)
∴y=

4

y2-y1

x-

4

y2-y1

=

4

y2-y1

(x-1)，
∴直線BD過定點（1，0）．…（14分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查最小值的求法，考查直線過定點的判斷，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．