Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)是橢圓的中心，且焦點(diǎn)與該橢圓右焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若P（a，0）為x軸上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（ⅰ）設(shè)S_△AOB=t•tan∠AOB，試問：當(dāng)a為何值時，t取得最小值，并求此最小值．
（ⅱ）若a=-1，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，證明：直線BD過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（x＞0），焦點(diǎn)F（，0），由橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），知p=2，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）（�。┰O(shè)直線AB：my=x-a．聯(lián)立，得=0，由此能推導(dǎo)出當(dāng)a=2時，t有最小值一2．
（ⅱ）由（�。┲狣（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，直線BD的方程為，由此能導(dǎo)出直線BD過定點(diǎn)（1，0）．
解答：解：（Ⅰ）由題意，設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（x＞0），焦點(diǎn)F（，0），
∵橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），
∴，即p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x，…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)直線AB：my=x-a．
聯(lián)立，消x得=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-4a，，…（6分）
由S_△AOB=
=，
∴，
∵，…（8分）
∴，
∴當(dāng)a=2時，t有最小值一2．…（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
直線BD的方程為y-y₂=，
即
y=
∴y=，
∴直線BD過定點(diǎn)（1，0）．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查最小值的求法，考查直線過定點(diǎn)的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．