Question

2．已知（$\sqrt{x}-\root{3}{x}$）ⁿ的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024．
（1）求展開式的所有有理數(shù)（指數(shù)為整數(shù)）；
（2）求（1-x）⁶+（1-x）⁷+…+（1-x）ⁿ展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）通過2ⁿ=1024可得n=10，化簡(jiǎn)T_r+1=（-1）^r${C}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{r}{6}}$（r=0，1，2，…，10），進(jìn)而可得r=0，6，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）利用${C}_{n}^{r-1}$=${C}_{n+1}^{r}$-${C}_{n}^{r}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意得，由二項(xiàng)式系數(shù)和2ⁿ=1024，解得n=10．
T_r+1=${C}_{10}^{r}（\sqrt{x}）^{10-r}（-\root{3}{x}）^{r}$=（-1）^r${C}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{r}{6}}$（r=0，1，2，…，10），
∵$5-\frac{r}{6}$∈Z，∴r=0，6，
∴有理項(xiàng)為T₁=${C}_{10}^{0}{x}^{5}$=x⁵，T₇=${C}_{10}^{6}$x⁴=210x⁴；
（2）x²項(xiàng)的系數(shù)為：${C}_{6}^{2}$+${C}_{7}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$，
∵${C}_{n}^{r}$+${C}_{n}^{r-1}$=${C}_{n+1}^{r}$，∴${C}_{n}^{r-1}$=${C}_{n+1}^{r}$-${C}_{n}^{r}$，
∴${C}_{6}^{2}$=${C}_{7}^{3}$-${C}_{6}^{3}$，${C}_{7}^{2}$=${C}_{8}^{3}$-${C}_{7}^{3}$，…，${C}_{10}^{2}$=${C}_{11}^{3}$-${C}_{10}^{3}$，
相加得：${C}_{6}^{2}$+${C}_{7}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$=${C}_{11}^{3}$-${C}_{6}^{3}$=145，
∴x²項(xiàng)的系數(shù)為145．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理等有關(guān)問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．